乘法，是指将相同的数加起来的快捷方式。其运算结果称为积，“x”是乘号。从哲学角度解析，乘法是加法的量变导致的质变结果。整数（包括负数），有理数（分数）和实数的乘法由这个基本定义的系统泛化来定义。
乘法也可以被视为计算排列在矩形（整数）中的对象或查找其边长度给定的矩形的区域。 矩形的区域不取决于首先测量哪一侧，这说明了交换属性。 两种测量的产物是一种新型的测量，例如，将矩形的两边的长度相乘给出其面积，这是尺寸分析的主题。
来源
乘法是算术中最简单的运算之一。 最早来自于整数的乘法运算。
什么是乘法
乘法是四则运算之一
例如4乘5，就是4增加了5倍率，也可以说成5个4连加。
古巴比伦人很早就发现，1/7是一个无限小数，怎么除也除不完。古巴比伦的倒数表里所有的数都是精确的小数，它们（在60进制中）都是有限小数。碰到无限小数时，他们会用取近似值的方法来解决。
“小九九”的由来
《九九乘法歌诀》，又常称为“小九九”。现在学生学的“小九九”口诀，是从“一一得一”开始，到“九九八十一”止，而在古代，却是倒过来，从“九九八十一”起，到“二二得四”止。因为口诀开头两个字是“九九”，所以，人们就把它简称为“九九”。大约到13、14世纪的时候才倒过来像现在这样“一一得一……九九八十一”。
中国使用“九九口诀”的时间较早。在《荀子》、《管子》、《淮南子》、《战国策》等书中就能找到“三九二十七”、“六八四十八”、“四八三十二”、“六六三十六”等句子。由此可见，早在“春秋”、“战国”的时候，《九九乘法歌诀》就已经开始流行了。
使用铅笔和纸张乘数的常用方法需要一个小数字（通常为0到9的任意两个数字）的存储或查询产品的乘法表，但是一种农民乘法算法的方法不是。
将数字乘以多于几位小数位是繁琐而且容易出错的。发明了通用对数以简化这种计算。幻灯片规则允许数字快速乘以大约三个准确度的地方。从二十世纪初开始，机械计算器，如Marchant，自动倍增多达10位数。现代电子计算机和计算器大大减少了用手倍增的需要。
历史算法
在埃及，希腊，印度和中华文明中记载了繁殖方法。
公元前约公元前十八万公元至二千零二十年的三叉骨，暗示了中非旧石器时代上升的知识。
埃及人
在阿姆斯纸莎草纸中记载的埃及整数和分数乘法的方法是连续添加和加倍。例如，要找到13和21的乘积，必须双倍21次，得到2×21 = 42，4×21 = 2×42 = 84,8×21 = 2×84 = 168.完整的产品可以然后通过添加在双倍序列中找到的适当术语来找到：
13×21 =（1 + 4 + 8）×21 =（1×21）+（4×21）+（8×21）= 21 + 84 + 168 = 273。
巴比伦人
巴比伦人使用了一个十六进制位置数字系统，类似于现代十进制。因此，巴比伦的乘法非常类似于现代十进制乘法。由于记忆60×60不同产品的相对困难，巴比伦数学家使用乘法表。这些表由某个主体号n：n，2n，...，20n的前20个倍数列表组成。其次是10n：30n 40n和50n的倍数。然后计算任何六进制产品，例如53n，只需要从表中计算出50n和3n。
中国人
在公元前300年前的数学文本《周髀算经》和《算术九章》中，乘法计算用字写出，虽然早期的中国数学家使用了涉及加法，减法，乘法和除法的罗德微积分。 Al Khwarizmi在9世纪初向阿拉伯国家介绍了这些地名十进制算术算法。
意义
3×5表示5个3相加
5x3表示3个5相加。
注意：1、在如上乘法表示什么中，常把乘号后面的因数做为乘号前因数的倍数。
2、参见wiki中对乘数和被乘数的定义
另：乘法的新意义：乘法不是加法的简单记法
Ⅰ 乘法原理：如果因变量f与自变量x1,x2,x3,…之间存在直接正比关系并且每个自变量存在质的不同，缺少任何一个自变量因变量f就失去其意义，则为乘法。
在概率论中，一个事件，出现结果需要分n个步骤，第1个步骤包括M1个不同的结果，第2个步骤包括M2个不同的结果，……，第n个步骤包括Mn个不同的结果。那么这个事件可能出现N=M1×M2×M3×……×Mn个不同的结果。
Ⅱ 加法原理：如果因变量f与自变量(z1,z2,z3…, zn)之间存在直接正比关系并且每个自变量存在相同的质，缺少任何一个自变量因变量f仍然有其意义，则为加法。
在概率论中，一个事件，出现的结果包括n类结果，第1类结果包括M1个不同的结果，第2类结果包括M2个不同的结果，……，第n类结果包括Mn个不同的结果，那么这个事件可能出现N=M1+M2+M3+……+Mn个不同的结果。
以上所说的质是按照自变量的作用来划分的。
此原理是逻辑乘法和逻辑加法的定量表述。
整数的乘法运算满足：交换律，结合律， 分配律，消去律。
随着数学的发展， 运算的对象从整数发展为更一般群。
群中的乘法运算不再要求满足交换律。 最有名的非交换例子，就是哈密尔顿发现的四元数群。 但是结合律仍然满足。
1、乘法交换律：ab=ba，注：字母与字母相乘，乘号不用写，或者可以写成·。
2、乘法结合律：(ab)c=a(bc)，
3、乘法分配律：(a+b)c=ac+bc。
其他说法
在群上再装备另一种乘法， 则发展成为“环”， 两种乘法中的一种可以视为传统意义上的加法，因此要求满足分配律和交换律；但是另一种“乘法”却不要求交换律。
在环里面，我们不再要求消去律成立。 如果这个环有消去律，就叫做整环。
但是对于环来说， 不一定有“除法”的概念。 如果环有除法的话，就叫做“域”。
域是最接近我们平时所说的有理数集合的东西。 但是它包含了更多信息。
结合律
前面讲的这些代数对象的乘法都满足结合律。 实际上数学发展到后来， 产生了一些不满足结合律的乘法。
最经典的就是所谓的李(Lie)括号
巧算
乘法是数学中基本运算之一。假设a乘b等于c，即记为ab = c或a·b =c。
中国古代利用算筹进行乘法计算。筹算乘法分三层：上位是被乘数，中位是积，下位是乘数。先由乘数的最大一位去乘被乘数，乘完后去掉这位的算筹，再用第二位数去乘，两次之积对应位上的数相加，乘完为止。例如81 × 81，先把乘数和被乘数分别放在上位和下位，如图（a）。用80去乘81得6480，「8」用完了，便掉去，如图（b）。再用1去乘81得81加到6480上，即等于6561，「1」亦用完了，便掉去，得图（c）。
（a）（b）（c）
计算的层次就是把多位数变为用单位数去乘多位数，乘一位加一位，基本原理与现在通用的笔算乘法完全一样，只是使用乘数的次序与现在作法相反。
